Cómo pasar datos de una actividad a una clase java

Según su comentario, ¿por qué no simplemente hace DatabaseHelper una variable de instancia y parametriza tu showResults método de la siguiente manera:

public class MyActivity extends Activity {

    private DatabaseHelper myDatabaseHelper;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        //initialise your helper here
        myDatabaseHelper = ...
    }

    public void onClickListenerButton(){

        // All your other stuff here...

        // variable that  I want to pass
        String avgStdLivingText = selectedAvgStdsRb.getText().toString();
        myDatabaseHelper.showResults(avgStdLivingText);
    }

}

Y luego, dentro de la clase auxiliar, simplemente puede hacer:

public Cursor showResults(String selectedAvgStds){
        SQLiteDatabase db = this.getWritableDatabase();

        Cursor results = db.rawQuery("select * from "+TEMP_TABLE+"where value = " + selectedAvgStds , null);
        return results;
     }
}