Cómo obtener resultados postgresql_query de Ansible

Parece que estás muy cerca, pero tienes register en la sangría incorrecta. Es un parámetro de la tarea en sí, no del módulo postgresql.

Prueba:

    - name: Get specific tables
      postgresql_query:
        db: "{{ database_name }}"
        login_host: "{{ my_host }}"
        login_user: "{{ my_user }}"
        login_password: "{{ my_password }}"
        query: SELECT * FROM pg_tables t WHERE t.tableowner = current_user
      register: result

    - debug:
        var: result