Error de sintaxis de FUNCIÓN

No soy un experto en Postgres, pero creo que new es para disparadores y no para funciones regulares.

Creo que quieres algo como:

CREATE FUNCTION check_available_flightID(date)
RETURNS integer AS 
$$
declare newfid int;
BEGIN 
  SELECT FlightID into newfid FROM Flight WHERE FlightDate::date = $1;
  IF newfid IS NULL THEN 
      RAISE EXCEPTION 'No flight in the date you enter';
  END IF;
  RETURN query SELECT FlightID FROM Flight WHERE FlightDate::date = $1;
end;
$$