Acabo de replicar el escenario de su caso de uso y conecté con éxito una base de datos de Cloud SQL de un proyecto con un Cloud App Engine de otro proyecto.
Los pasos para reproducir esto son los siguientes:
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Creé una base de datos Cloud SQL Postgresql con IP pública.
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Creé las tablas para mi aplicación
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Habilitar la API de Cloud SQL en el segundo proyecto donde quiero alojar el lado de App Engine.
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Implementó una aplicación de App Engine en un segundo proyecto con este Repositorio de Google Cloud
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Dar permiso a la cuenta de servicio del proyecto con App Engine en el proyecto con Cloud SQL siguiendo este Guía de uso de Cloud SQL para PostgreSQL
Durante mi reproducción encontré el posible problema que ha encontrado. Probablemente no habilitó la API del segundo proyecto (el que aloja solo App Engine).
Para verificar esto, solo necesita ingresar a la máquina que aloja el motor de la aplicación y luego ejecutar docker ps -a para obtener la identificación del contenedor docker que aloja el cloud-sql-proxy . Luego, usando esa identificación, ejecute docker logs -f ID_OF_THE_CONTAINER y verás si tienes algún error en tu proxy de Cloud SQL. Si tiene la API deshabilitada, habilítela y vuelva a implementarla.
