Puede crear un índice de trigramas que respalde su consulta.
Para eso necesitas el pg_trgm extensión; ejecute lo siguiente como superusuario:
CREATE EXTENSION pg_trgm;
Luego puede crear un índice GIN:
CREATE INDEX ON dir USING gin (path gin_trgm_ops);
Este índice se puede usar con su segundo y tercer enfoque, por lo que debería funcionar para usted.
Con patrones cortos como el de tus ejemplos, el índice no será muy efectivo.
También puede usar un índice GiST, que probablemente será más pequeño, pero más lento para buscar.
Tenga en cuenta que también puede usar ese índice con patrones que comienzan con % .
