mysql_fetch_array() espera que el parámetro 1 sea un recurso, cadena dada

Estás pasando $query cuál es tu cadena sql , cuando necesite pasar $result cuál es su objeto de resultado de base de datos.

class DBQueries extends DBConn {
    function displayUsers(){
        $this->dbConnection();
        $query = "SELECT * FROM users";
        $result = mysql_query($query);
        while ($row = mysql_fetch_array($result)) {
            echo $row['password'];
        }
    }
}