jdbcTemplate es nulo y arroja una excepción de puntero nulo

En su controlador, está creando un nuevo UserDaoImpl:

@RequestMapping(method = RequestMethod.GET, value="/{userId}", produces = {MediaType.APPLICATION_JSON_VALUE})
ResponseEntity<User> getUser(@PathVariable int userId){
    UserDaoImpl user = new UserDaoImpl(); // <-- HERE
    User u = new User();
    u=user.getUser(userId);
    return new ResponseEntity<User>(u, HttpStatus.OK);
}

Este UserDaoImpl no está administrado por Spring, y no está configurado/autoconectado. Debe inyectar en su controlador la instancia de UserDao configurada en el xml:

  @Autowired
  private UserDao userDao;

  @RequestMapping(method = RequestMethod.GET, value="/{userId}", produces = {MediaType.APPLICATION_JSON_VALUE})
ResponseEntity<User> getUser(@PathVariable int userId){
    User u = userDao.getUser(userId);
    return new ResponseEntity<User>(u, HttpStatus.OK);
}