¿Puedo usar funciones MySQL en el desplazamiento LÍMITE?

No, no puedes hacer eso directamente . LIMIT y OFFSET los valores deben ser constantes.

Cita de los documentos de MySQL :

Sin embargo, puede usar declaraciones y variables preparadas:

SELECT @offset:=FLOOR(1 + RAND() * COUNT(*)) FROM sites;
PREPARE STMT FROM 'SELECT * FROM sites WHERE ... LIMIT ?, 1';
EXECUTE STMT USING @offset;