MySQL Número de días dentro de un rango de fechas, dentro de un mes (Tabla de reserva)

Estás en las líneas correctas. Debe unir su consulta con una tabla de los meses para los que desea datos, que pueden ser permanentes o (como se muestra en mi ejemplo a continuación) creados dinámicamente en un UNION subconsulta:

SELECT   YEAR(month.d),
         MONTHNAME(month.d),
         SUM(1 + DATEDIFF( -- add 1 because start&finish on same day is still 1 day
           LEAST(Checkout, LAST_DAY(month.d)), GREATEST(Checkin, month.d)
         )) AS days
FROM     bookingdata
  RIGHT JOIN (
                   SELECT 20110101 AS d
         UNION ALL SELECT 20110201 UNION ALL SELECT 20110301
         UNION ALL SELECT 20110401 UNION ALL SELECT 20110501
         UNION ALL SELECT 20110601 UNION ALL SELECT 20110701
         UNION ALL SELECT 20110801 UNION ALL SELECT 20110901
         UNION ALL SELECT 20111001 UNION ALL SELECT 20111101
         UNION ALL SELECT 20111201
  ) AS month ON
             Checkin <= LAST_DAY(month.d)
         AND month.d <= Checkout
GROUP BY month.d

Véalo en sqlfiddle .