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Encuentre las cadenas coincidentes más cercanas y sus subcadenas mediante una consulta SQL

Un método es usar like en el order by :

order by (case when name like 'ATUL%' then 1
               when name like 'ATU%' then 2
               when name like 'AT%' then 3
               when name like 'A%' then 4
               else 5
          end)

Un método más genérico también es la fuerza bruta, pero podría ser algo como esto:

order by (case when left(name, 9) = left('ATUL', 9) then 1
               when left(name, 8) = left('ATUL', 8) then 2
               when left(name, 7) = left('ATUL', 7) then 3
               when left(name, 6) = left('ATUL', 6) then 4
               when left(name, 5) = left('ATUL', 5) then 5
               when left(name, 4) = left('ATUL', 4) then 6
               when left(name, 3) = left('ATUL', 3) then 7
               when left(name, 2) = left('ATUL', 2) then 8
               when left(name, 1) = left('ATUL', 1) then 9
          end)