Ordenar caracteres de cadena en MySQL

Probablemente muy ineficiente, pero sin necesidad de funciones definidas por el usuario:

SELECT GROUP_CONCAT(LETTER SEPARATOR '') AS ReOrderedLetters
  FROM ( SELECT 'A' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%A%'
         UNION ALL
         SELECT 'B' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%B%'
         UNION ALL
         SELECT 'C' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%C%'
         UNION ALL
         SELECT 'D' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%D%'
         ...
         UNION ALL
         SELECT 'Y' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%Y%'
         UNION ALL
         SELECT 'Z' as LETTER FROM <table> WHERE UPPER(`name`) like '%Z%'
       ) alpha

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Tuve que pensar en una mejor alternativa antes de acostarme, de lo contrario nunca habría podido dormir; así que aquí tienes una alternativa mucho más limpia y eficiente.

Creé una tabla llamada letras con una sola columna de VARCHAR (1) llamada letra; luego rellené esa tabla con las letras de la A a la Z

CREATE TABLE IF NOT EXISTS `letters` (
   `letter` varchar(1) NOT NULL,
   PRIMARY KEY (`letter`)
) ENGINE=InnoDB DEFAULT CHARSET=utf8;

INSERT INTO `letters` (`letter`) VALUES
('A'),('B'),('C'),('D'),('E'),('F'),('G'),('H'),('I'),('J'),('K'),('L'),('M'),
('N'),('O'),('P'),('Q'),('R'),('S'),('T'),('U'),('V'),('W'),('X'),('Y'),('Z');

entonces:

select U.`name`,
       GROUP_CONCAT(L.`letter` 
           ORDER BY L.`letter` ASC 
          SEPARATOR '') AS ReOrderedLetters 
  FROM `users` U 
  LEFT JOIN `letters` L ON POSITION(L.`letter` IN UPPER(U.`name`)) > 0
 GROUP BY U.`name`