¿Cómo obtengo la fecha del próximo mes a partir de la fecha de hoy y la inserto en mi base de datos?

Puede usar strtotime() de PHP función:

// One month from today
$date = date('Y-m-d', strtotime('+1 month'));

// One month from a specific date
$date = date('Y-m-d', strtotime('+1 month', strtotime('2015-01-01')));

Solo ten en cuenta que +1 month no siempre se calcula intuitivamente. Parece que siempre agrega la cantidad de días que existen en el mes actual.

Current Date  | +1 month
-----------------------------------------------------
2015-01-01    | 2015-02-01   (+31 days)
2015-01-15    | 2015-02-15   (+31 days)
2015-01-30    | 2015-03-02   (+31 days, skips Feb)
2015-01-31    | 2015-03-03   (+31 days, skips Feb)
2015-02-15    | 2015-03-15   (+28 days)
2015-03-31    | 2015-05-01   (+31 days, skips April)
2015-12-31    | 2016-01-31   (+31 days)

Algunos otros intervalos de fecha/hora que puede usar:

$date = date('Y-m-d'); // Initial date string to use in calculation

$date = date('Y-m-d', strtotime('+1 day', strtotime($date)));
$date = date('Y-m-d', strtotime('+1 week', strtotime($date)));
$date = date('Y-m-d', strtotime('+2 week', strtotime($date)));
$date = date('Y-m-d', strtotime('+1 month', strtotime($date)));
$date = date('Y-m-d', strtotime('+30 days', strtotime($date)));