unir las dos tablas pero diferenciar el número de columna

Simplemente haga la agregación antes de union all :

select sum(cnt) as total
FROM ((SELECT count(*) as cnt
       FROM database1.orders
       WHERE number LIKE '11111111111111111'
      )
      UNION ALL
      (SELECT count(*) as cnt
       FROM database2.orders
       WHERE number LIKE '11111111111111111'
      )
     ) t;

Tenga en cuenta que cambié el delimitador de cadena para que sea una comilla simple en lugar de una comilla doble. Es una buena práctica usar comillas simples para cadenas y constantes de fecha (y nada más).

Por cierto, también puedes hacer esto usando una unión:

select o1.cnt1, o2.cnt1, (o1.cnt1 + o2.cnt1) as total
FROM (SELECT count(*) as cnt1
      FROM database1.orders
      WHERE number LIKE '11111111111111111'
     ) o1 cross join
     (SELECT count(*) as cnt2
      FROM database2.orders
      WHERE number LIKE '11111111111111111'
     ) o2;

Esto facilita la obtención de recuentos individuales para las dos bases de datos.