Cómo evitar que PHP agregue filas/campos en blanco a la base de datos MYSQL

Debe verificar si el formulario fue enviado. Probablemente quieras algo como:

<?php

if ($_POST)
{
    // open the connection
    $conn = mysql_connect("localhost", "root", "password");
    // pick the database to use
    mysql_select_db("company_register",$conn);

    $sql = "INSERT INTO `tblsignups` VALUES ('NULL', '$_POST[company]', '$_POST[email]', '$_POST[phone]', '$_POST[address]', '$_POST[comments]', '$_POST[contact_person]')";

    $result = mysql_query($sql, $conn) or die(mysql_error());

    mysql_close($conn);
}

?>