Convierta las selecciones de UNION en selección única con bucle en MySQL

En MySQL (anterior a 8.0), puede usar variables para esto:

select genre_name, actor_id, cnt
from (select genre_name, actor_id, cnt,
             (@rn := if(@g = genre_name, @rn + 1,
                        if(@g := genre_name, 1, 1)
                       )
             ) as rn
      from (select g.genre_name, r.actor_id, count(*) as cnt
            from movie m join
                 role r
                 on r.movie_id = m.movie_id join
                 movie_has_genre mhg
                 on mhg.movie_id = m.movie_id join
                 genre g
                 on g.genre_id = mhg.genre_id
            group by g.genre_name, r.actor_id
            order by g.genre_name, cnt desc
           ) ga cross join
           (select @g := '', @rn := 0) params
      ) ga
where rn <= 3;

En 8.0+, use row_number() el método estándar ANSI para esta funcionalidad.

Notas:

• Nunca use comas en FROM cláusula. Siempre use JOIN adecuado y explícito sintaxis.
• Utilice alias de tabla que sean las abreviaturas de las columnas que está utilizando.
• Califique todos los nombres de columna en las consultas que está utilizando, especialmente cuando FROM cláusula hace referencia a más de una tabla.