Eliminar múltiples entradas con AJAX

tu jquery sería algo como esto.

$("#Submit1").click(function () {

            var arr = new Array();


            $("input:checked").each(function () {

                arr.push($(this).attr("id"));

            }); //each

            $.ajax({
             type: "POST",
       url: "core/actions/delete_multiple.php",
       data: arr ,//pass the array to the ajax call
       cache: false,

       success: function()
             {   }
       });//ajax

            }); //each


        }); //click

ya que la función PHP obtendrá un objeto JSON. necesitará hacer una decodificación JSON para obtener la matriz... vea Decodificación JSON ... use esta matriz para crear su consulta como ..

   delete from SalesLT.Customer
where CustomerID in (1,2,3,4);