¿Cómo obtener los datos usando>=Y <=en un formato de tiempo de 12 horas en php/mysql?

Asumiendo que usas el DATETIME -formate como tipo de datos en su base de datos esto debería ayudarlo:

$start =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('start')));
$end =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('end')));
...
$sql = "SELECT materialID FROM schedule WHERE date_reserve = ? AND TIME(start_time) >= ? AND TIME(end_time) <= ?";

Editar: Entonces, si usa TIME-format solo tienes que cambiar el formato de los valores que estás insertando:

$start =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('start')));
$end =  date("h:i:s", strtotime($this->input->post('end')));