Entonces, finalmente me di cuenta de cuál era la consulta que faltaba. Antes de la línea
$sql .= " LEFT JOIN " . DB_PREFIX . "product_description pd ON
(p.product_id = pd.product_id) LEFT JOIN " . DB_PREFIX .
"product_to_store p2s
Tuve que poner $sql .= " LEFT JOIN " . DB_PREFIX . "manufacturer m ON (m.manufacturer_id = p.manufacturer_id) ";
Y luego justo antes de la línea
$sql .= " OR LCASE(p.model) = '" . $this->db->escape(utf8_strtolower($data['filter_name'])) . "'";
Tuve que poner
$sql .= " OR LCASE(m.name) = '" . $this->db->escape(utf8_strtolower($data['filter_name'])) . "'";
Entonces, obviamente, me faltaban los datos del fabricante. De esta manera saqué los datos de la tabla del fabricante y los procesé correctamente. Espero que esto ayude a alguien, ¡salud!