MySQL - ¿Cómo puedo actualizar una tabla con valores de otra tabla?

Necesitamos detalles sobre lo que no funciona, pero creo que solo necesitas usar:

UPDATE TablePeople 
   SET missingdate = (SELECT MAX(te.replacementDate)
                        FROM TABLEEVENT te
                       WHERE te.people_id = TablePeople.id)   
 WHERE missingdate IS NULL

Notas

• MAX se usa para devolver la fecha de reemplazo más reciente, por temor al riesgo de obtener múltiples valores de la subconsulta
• Si no hay un registro de respaldo en TABLEEVENT, devolverá nulo para que no haya cambios