Error no detectado:llamada a una función miembro prepare () en caso de error nulo

Solo tienes algunos errores en tu código. Intenta usar estas líneas:

Archivo de conexión:

<?php
class Connection {
    public $dbh;

    // Setting Database Source Name (DSN)
    public function __construct() {
        $dsn = 'mysql:host=localhost;dbname=employees';
        // Setting options
        $options = array (PDO::ATTR_ERRMODE => PDO::ERRMODE_EXCEPTION);
        // Making the connection to the database
        try {
            $this->dbh = new PDO($dsn, 'root', '', $options); 
        }
        catch (PDOException $e) {
            $this->error = $e->getMessage();
        }
    }
}

$connection = new connection();

archivo usuarios.php :

<?php

include 'connection.php';
class Users {
    public $name;
    public $surname;
    public $employmentDate;
    public $connection;

    public function __construct($connection)
    {
        $this->connection = $connection;
        if(isset($_POST['Submit'])) {
            $this->name = $_POST['name'];
            $this->surname = $_POST['surname'];
            $this->employmentDate = $_POST['employmentDate'];
        }
    }

    // Inserting users values to the database table
    public function insertUserValues() {
        $query = 'INSERT INTO employee (name,surname,employment_date) VALUES (:name,:surname,:employmentDate)';
        $stmt = $this->connection->dbh->prepare($query);
        $stmt->bindValue(':name',$this->name, PDO::PARAM_STR);
        $stmt->bindValue(':surname',$this->surname, PDO::PARAM_STR);
        $stmt->bindValue(':employmentDate',$this->employmentDate, PDO::PARAM_STR);
        $stmt->execute();
    }
}   

$users = new Users($connection);
$users->insertUserValues();

Explicaciones:

• Tienes que pasar la variable $conexión a tu clase de usuarios (o importarla con global $connection; )
• Su archivo de conexión debe hacer visible la propiedad dbh, de lo contrario no podrá realizar ninguna consulta en su base de datos
• PDO prepare() el método está esperando una consulta en el primer argumento
• No necesita pasar una matriz para ejecutar el método () si ya ha vinculado sus valores antes