¿Cómo envío los cambios que he realizado en un DataTable a la tabla de la que lo tomé?

No se trata de mantener la conexión abierta, solo tienes que usar Command Builder, es lo mismo con MySql, creo.

private MySqlDataAdapter adapt;
private DataSet someDataSet;
someDataSet = new DataSet();

    public DataSet GetCustomerData(int customerId)
    {
        using(MySqlConnection connect = new MySqlConnection(ConnString))
        {
            connect.Open();
            MySqlCommand comm = new MySqlCommand("SELECT * FROM customers WHERE Id = @0", connect);
            someDataSet.Tables.Add("CustomersTable");
            comm.Parameters.AddWithValue("@0", customerId);
            adapt.SelectCommand = comm;
            adapt.Fill(someDataSet.Tables["CustomersTable"]);
        }

        return someDataSet;
   }

Ahora para la actualización:también podría usar un nuevo adaptador, pero luego debe darle un comando de selección, basado en eso, el generador de comandos hará los comandos Insertar, Actualizar y Eliminar.

    public void UpdateTable(DataTable table, int customerId)
    {
        using (MySqlConnection connect = new MySqlConnection(ConnString))
        {
            connect.Open();
            MySqlCommandBuilder commbuilder = new MySqlCommandBuilder(adapt);
            adapt.SelectCommand = new MySqlCommand("SELECT * FROM customers WHERE Id = "+customerId, connect); //or use parameters.addwithvalue
            adapt.Update(table);
        }
    }