¿Cómo puedo ejecutar una consulta mysql cuando el usuario selecciona una nueva opción en un campo de selección?

Sí, necesitas usar ajax aquí. Verifique el siguiente código y notas.

Escribe la función que devuelve un ActiveXObject() que haría una llamada ajax como

function getXMLHTTP() {
    var xmlhttp = false;
    try {
        xmlhttp = new XMLHttpRequest();
    } catch (e) {
        try {
            xmlhttp = new XMLHttpRequest();
        } catch (e) {
            try {
                xmlhttp = new ActiveXObject("Microsoft.XMLHTTP");
            } catch (e) {
                try {
                    xmlhttp = new ActiveXObject("Msxml2.XMLHTTP");
                } catch (e1) {
                    xmlhttp = false;
                }
            }
        }
    }

    return xmlhttp;
}

Luego escriba una función específica para su sitio que obtenga los datos deseados como

function getProducts(){
var select1 = document.getElementById("cboCategory");
var strURL = "getproducts.php?city="+select1.options[select1.selectedIndex].value;

var req = getXMLHTTP(); // function to get xmlhttp object
if (req) {
    req.onreadystatechange = function() {
        if (req.readyState == 4) { // data is retrieved from server
            if (req.status == 200) { // which reprents ok status
                document.getElementById('productsdiv').innerHTML = req.responseText; // div to be updated
            } else {
                alert("[GET Products]There was a problem while using XMLHTTP:\n" + req.statusText);
            }
        }
    };
    req.open("GET", strURL, true); // open url using get method
    req.send(null);
}

Esta función se llamaría en caso de cambio de cboCategory seleccionar opciones, por lo que el html correspondiente sería

<select onchange="getProducts()" id="cboCategory" class="box">
  ...
</select>
<!-- Can be anywhere on same page -->
<div id="productdiv"> </div>

Su página getproduct.php devolvería un html como una cadena que sobrescribiría el contenido de producstdiv etiqueta en su página html.

También puede devolver datos de php como json . Consulte su wiki de etiquetas para obtener más información. También puede usar jquery para hacer una llamada ajax.