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Cómo comprobar varchar con ceros a la izquierda en mysql

Obtiene el mismo resultado sin los ceros a la izquierda.
Use el tipo de datos entero para comparar valores enteros.
También puede convertir los valores sobre la marcha usando cast:

Tu ejemplo con Cast: 

select if( cast('00160001' as unsigned) between cast('0013001' as unsigned)  
and cast('0023000' as unsigned),1,0) as test_a,  
if( cast('00200000' as unsigned) between cast('0013001' as unsigned)   
and cast('0023000' as unsigned),1,0) as test_b;