MySQL encuentra todos los padres recursivamente

Déjame darte una idea. Cree una función que obtenga el parent_id de un ID determinado varias veces, llamémoslo generación. Cat10 generación 1 sería el padre que es CAT5 generación 2 sería CAT3 y así sucesivamente.

DROP FUNCTION IF EXISTS getNameIdGeneration;
DELIMITER $$
CREATE FUNCTION getNameIdGeneration(idPar int, generationPar int)
  RETURNS VARCHAR(1000) READS SQL DATA
BEGIN
  DECLARE auxLoopVar INT default 0;
  DECLARE parentIdVar INT default idPar;  
  DECLARE nameVar VARCHAR(1000) default NULL;

  count_loop: LOOP    
    SELECT parent_id INTO parentIdVar FROM Category_parent WHERE Category_id = parentIdVar;
    SET auxLoopVar = auxLoopVar + 1;        
    IF auxLoopVar >= generationPar THEN
      LEAVE count_loop;
    END IF;    
  END LOOP;
  SELECT name INTO nameVar FROM Category WHERE id = parentIdVar;

  RETURN nameVar;
END;
$$
DELIMITER ;

asumiendo que Category_Id para CAT10 =10 si prueba la función dada

select getNameIdGeneration(10, 2);

CAT3

Ahora todo lo que necesita es una tabla que contenga la identificación del CAT del que desea conocer su linaje

MariaDB [mydatabase]> select * from test;
+-------------+------------+
| category_id | generation |
+-------------+------------+
|          10 |          1 |
|          10 |          2 |
|          10 |          3 |
+-------------+------------+

MariaDB [mydatabase]> select generation, getNameIdGeneration(category_id, generation) as Name from test;
+------------+------+
| generation | Name |
+------------+------+
|          1 | CAT5 |
|          2 | CAT3 |
|          3 | CAT1 |
+------------+------+
3 rows in set (0.00 sec)