MYSQL divide los resultados de múltiples subconsultas con múltiples filas

Aquí hay una forma en que puede lograr todo con la siguiente consulta:

SELECT 
(dividendTable.messages / divisorTable.messages) AS result
FROM
(
    SELECT 
    firstTable.messages,
    @rn1 := @rn1 + 1 AS row_number
    FROM 
    (
        SELECT
            COUNT(channel) AS messages
        FROM Chats
        WHERE   message LIKE '%word%'
        GROUP BY    UNIX_TIMESTAMP(time) DIV 3600
    ) FirstTable, (SELECT @rn1 := 0) var1
) AS dividendTable
INNER JOIN
(   
    SELECT 
    secondTable.messages,
    @rn2 := @rn2 + 1 AS row_number
    FROM
    (
        SELECT 
            COUNT(channel) AS messages 
        FROM Chats 
        GROUP BY UNIX_TIMESTAMP(time) DIV 3600
    ) secondTable, (SELECT @rn2 := 0) var2
) AS divisorTable
ON dividendTable.row_number = divisorTable.row_number;

Nota:

Si desea que el resultado se redondee a 2 dígitos después del punto decimal, utilice lo siguiente como la primera línea de la consulta:

SELECT
ROUND((dividendTable.messages / divisorTable.messages),2) AS result

Demostración aquí

Precaución: No ha utilizado ningún ORDER BY en su consulta. Es posible que obtenga un comportamiento aleatorio.