Desencadenar para actualizar la columna principal en función del recuento de tablas secundarias

Tienes que usar 2 disparadores para que esto se logre.

1. después de la actualización sobre niños
2. después de eliminar en niños

Ejemplo 1 :Después de ACTUALIZAR :

delimiter //

drop trigger if exists au_on_children //

create trigger au_on_children after update on children 
for each row
begin
  declare old_totalCapacity int not null default 0;
  declare new_totalCapacity int not null default 0;

  select 
    case when homeID = OLD.homeID 
              then sum( OLD.homeID ) 
         else sum( homeID ) 
     end 
    into old_totalCapacity ,
    case when homeID = NEW.homeID 
              then sum( NEW.homeID ) 
         else sum( homeID )
     end 
    into new_totalCapacity 
    from children;

  update home 
     set capacity =  
         case when homeID = OLD.homeID 
                   then old_totalCapacity  
              else capacity 
         end ,
         case when homeID = NEW.homeID 
                   then new_totalCapacity 
              else capacity 
         end ;
end;
//

delimiter ;

Ejemplo 1 :Después de ELIMINAR :

delimiter //

drop trigger if exists ad_on_children //

create trigger ad_on_children after delete on children 
for each row
begin
  declare totalCapacity int not null default 0;

  select sum( homeID ) 
    into totalCapacity 
    from children 
   where homeID = OLD.homeID;

  update home 
     set capacity = totalCapacity 
   where homeId = OLD.homeID;
end;
//

delimiter ;