¿Cuál es la mejor manera de insertar solo el mes, el día y la hora en la tabla de la base de datos?

Puede usar algo como para separar la fecha y hora:

$today = date("Y-m-d h:i:sa");
$dateTimeParts = explode(" ", $today);

//first separate date and time:
$date = $dateTimeParts[0];
$time = $dateTimeParts[1];

//separate date's year, month and day
$dateParts = explode("-",$date);


echo "Monthe and day: ".$dateParts[1]. "-" . $dateParts[2]."\n";
echo "Time: ".$time;

Luego, puede almacenar el valor de fecha completo (como referencia) y las partes como dateDay, dateMonth y dateTime, por ejemplo. O puede implosionar todas las partes y almacenar solo una columna:

$newDate = [];
array_push($newDate, $dateParts[1]); //month
array_push($newDate, $dateParts[2]); //year
array_push($newDate, $time);
$relevantDateParts = implode(" ", $newDate);