No es necesario usar una entrada oculta, solo puede usar el botón button etiqueta en su lugar:
<?php while($row = mysqli_fetch_array($result)) { ?>
<tr>
<td align="center"><?php echo $row['dept_ID']; ?></td>
<td align="center"><?php echo $row['dept_name']; ?></td>
<td>
<button type="submit" name="departmentID" class="buttonsPromptConfirmDeleteDepartment" value="<?php echo $row['dept_ID']; ?>">Delete</button>
</td>
</tr>
<?php } ?>
Por supuesto, en el script PHP que procesa el formulario, acceda al índice POST como lo haría normalmente:
$id = $_POST['departmentID'];
// some processes next to it
Nota:No olvide el <form> etiqueta.
Nota adicional:no olvide usar declaraciones preparadas :
$sql = 'DELETE FROM department WHERE dept_ID = ?';
$stmt = $dbc->prepare($sql);
$stmt->bind_param('i', $id);
$stmt->execute();
// some idea, use error checking when necessary
// $dbc->error
