¿Cómo puedo obtener el recuento total del mismo nombre de diferentes columnas en una tabla en MySQL?

Podrías usar union all para generar una sola columna con todos los ID y luego contarlos:

SELECT   id, COUNT(*) 
FROM     (SELECT id1 AS id FROM mytable
          UNION ALL
          SELECT id2 AS id FROM mytable) t
GROUP BY id