Declaración de selección de subconsulta de MySQL dentro de la consulta de actualización

Podría usar una subconsulta no correlacionada para hacer el trabajo por usted:

UPDATE 
    tbl_taxclasses c 
INNER JOIN (
    SELECT 
        COUNT(regionsid) AS n 
     FROM 
        tbl_taxclasses_regions 
     GROUP BY 
        classid
) r USING(classid) 
SET 
    c.regionscount = r.n
WHERE
    c.classid = 1