JPA no se inserta en la base de datos, ¿por qué?

Te falta manejo de transacciones , por ejemplo

entityManager.getTransaction().begin();
entityManager.persist(area);
entityManager.getTransaction().commit();

Le recomiendo que lea sobre la integración de JPA y JSF, puede haber alguna utilidad/filtro/compatibilidad con JSF que se encargue de esto por usted.