MySQL se une con el truco de 3 tablas

Supongo que te estás perdiendo EXISTS cláusula.

La siguiente consulta selecciona todas las categorías, para las cuales existe al menos una fila en la tabla de intersección.

SELECT category_name
FROM categories c
WHERE EXISTS (
    SELECT 1
    FROM assigned_cat ac
    WHERE ac.category_id = c.category_id
)