Cómo actualizar una columna MySQL basada en una entrada de casilla de verificación

Algunos problemas que encontré en sus consultas

esto

SELECT * FROM announce WHERE id == $ids

Debería ser

SELECT * FROM announce WHERE id = '$ids'

Y esto

UPDATE announce SET approv = 'approved'WHERE id == $idan

debería ser

UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$idan'

Su casilla de verificación tampoco tiene un atributo de valor

<input type="checkbox" name="approv[]" value="<echo your table row id here>" />

Luego usa

foreach($_POST['approv'] as $apprValue)
{
    mysql_query(UPDATE announce SET approv = 'approved' WHERE id = '$apprValue');
}

En una nota completamente al margen, no use más las funciones mysql_*. Pronto quedarán en desuso. Mejor optar por mysqli o PDO