¿Cómo puedo conectarme a una base de datos diferente durante el tiempo de ejecución de la aplicación con Laravel?

Puede usar el método Config::set para cambiar su configuración subyacente sobre la marcha, a otra conexión de base de datos, suponiendo que eso es lo que quiere decir.

Config::set("database.connections.mysql", [
    "host" => "...",
    "database" => "...",
    "username" => "...",
    "password" => "...
]);