Seleccione filas donde el pivote tenga TODAS las identificaciones

Podrías agregar un having cláusula a su consulta para asegurarse de que cada grupo de c.id tenga los cuatro cp.product_id:

SELECT
    c.id as company_id
FROM
    `companies` as c
    LEFT JOIN `company_products` cp ON cp.company_id = c.id
WHERE
    c.id IN (8, 13)
    AND cp.product_id IN (1,2,4,8)
GROUP BY
    c.id
HAVING COUNT(DISTINCT cp.product_id) = 4;    

Fiddle SQL de muestra

Si también necesita los detalles del producto, puede usar la consulta anterior como una tabla derivada y unirla con la tabla de productos.