Mysql... ¿Consulta imposible?

No imposible, solo enrevesado. Puede usar STR_TO_DATE para convertir sus cadenas en DATETIME objetos, desde los cuales puede usar MONTH para obtener el número del mes. Sin embargo, tenga en cuenta (como comentó @DRapp) que debe almacenar DATETIME valores en su forma nativa, no como VARCHAR , entonces no tendrías que lidiar con STR_TO_DATE . Una vez obtenido el número del mes, puede usar la agregación condicional para obtener los resultados que desea:

SELECT name,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 1 THEN PTS END), 0) AS Jan,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 2 THEN PTS END), 0) AS Feb,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 3 THEN PTS END), 0) AS Mar,
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 4 THEN PTS END), 0) AS Apr,
       -- repeat for May to November
       COALESCE(AVG(CASE WHEN mth = 12 THEN PTS END), 0) AS `Dec`,
       AVG(PTS) AS AVG
FROM (
  SELECT name, PTS AS PTS, MONTH(STR_TO_DATE(DATE, '%a %b %e %H:%i:%s %Y')) AS mth
  FROM data
) d
GROUP BY name

Salida (para sus datos de muestra):

name    Jan     Feb     Mar     Apr     Dec     AVG
Chris   0       4       0       2       0       3
John    0       0       0       2.6667  0       2.6667

Demostración en SQLFiddle