¿Hay alguna manera de calcular cálculos repetidos solo una vez en sql?

Puede usar una tabla derivada (subconsulta en la cláusula FROM):

select mydate, UNIX_TIMESTAMP(mydate)
from
(
  SELECT 
  DATE(CONVERT_TZ(FROM_UNIXTIME(my_time + timezone_offset * 60), @@session.time_zone, '+00:00')) as mydate,
  FROM my_table
);