Bueno, solo necesita que los elementos relacionados con la cláusula o estén entre paréntesis.
Por cierto, no son "necesarios" (podría usar el orden de precedencia AND / OR), pero diría que esta es la mejor forma de legibilidad.
Y si el tipo de datos status_id es int, no necesita el ' ' alrededor de 1 y 2.
SELECT *
FROM tablename
WHERE name='Ankit'
AND date='2015-04-23'
AND (status_id=1 OR status_id=2)
Por cierto, en este caso, puede usar una cláusula IN
AND status_id in (1, 2)
