Insertar en la base de datos MySQL con jQuery y PHP

Mirando su consulta, sospecho que necesita que sea:

$query = "INSERT INTO tz_navbar (name) VALUES ('".$name."')";

Si eso no lo soluciona, debe registrar el valor de $_REQUEST

error_log(print_r($_REQUEST,true));

para asegurarse de obtener los valores correctos en el lado del servidor.