ST_Distance_Sphere en mysql no proporciona la distancia precisa entre dos ubicaciones

ST_DISTANCE_SPHERE requiere que los puntos se expresen como POINT(longitude, latitude) , los tienes invertidos en tu código

set @lat1 = 38.898556;
set @lon1 = -77.037852;
set @lat2 = 38.897147;
set @lon2 = -77.043934;
SET @pt1 = point(@lon1, @lat1);
SET @pt2 = point(@lon2, @lat2);
SELECT ST_Distance_Sphere(@pt1, @pt2)/1000,
  lat_lng_distance(@lat1,@lon1,@lat2,@lon2);

+-------------------------------------+-------------------------------------------+
| ST_Distance_Sphere(@pt1, @pt2)/1000 | lat_lng_distance(@lat1,@lon1,@lat2,@lon2) |
+-------------------------------------+-------------------------------------------+
|                   0.549154584458455 |                        0.5496311783790588 |
+-------------------------------------+-------------------------------------------+

Esto da un resultado mucho más cercano al valor devuelto por su función.