mysql seleccione el recuento de registros para cada mes

Estás usando un LEFT JOIN , pero en su instrucción where lo está convirtiendo en un JOIN 'normal'

Intenta escribirlo así:

SELECT months_tbl.month, COUNT( events_tbl.appt_id ) cnt
FROM months_tbl
  LEFT JOIN events_tbl ON (months_tbl.month_id = MONTH(events_tbl.appt_date_time) 
    AND events_tbl.company_id = 1
  )
GROUP BY months_tbl.month
ORDER BY months_tbl.month_id ASC;

Tenga en cuenta el AND events_tbl.company_id = 1 está en LEFT JOIN