No puede asignar una declaración de eco a una variable.
Cambia esto:
$approveremail = echo $result['e_mail'];
A esto:
$approveremail = $result['e_mail'];
echo $approveremail;
O incluso:
echo $result['e_mail'];
Además, considere usar mysqli o PDO en lugar de funciones mysql_. La función mysql_ está en desuso y ya no es compatible con PHP 7.0 y superior.
Eche un vistazo a esta página https://www.php .net/manual/en/function.mysql-fetch-array.php
Debe ejecutar la consulta y luego obtener el resultado
$emailaddress = "SELECT e_mail FROM frm_change_approver WHERE user_id = '$approvingmanagername'";
$result = mysql_query($emailaddress);
$row = mysql_fetch_array($result, MYSQL_ASSOC);
$approveremail = $row['e_mail'];
Además, considere usar mysql_real_escape_string() para desinfectar sus entradas https://www.php.net/manual/en/function.mysql-real-escape-string.php
