Cómo pasar el resultado de mysql como jSON a través de ajax

Su codificación json debería ser así:

 $json = array();
 while( $row = $statement->fetch()) {
     array_push($json, array($row['Name'], $row['PostUUID']));
 }

    header('Content-Type: application/json');
    echo json_encode($json);

Y en su parte de javascript, no tiene que hacer nada para recuperar sus datos, se almacenan en la variable de datos de la función de éxito. Puede mostrarlos y hacer lo que quiera en su página web con ellos