Ejecutar una consulta basada en varias casillas de verificación

El núcleo de su problema parece ser el hecho de que está rodeando la columna DetailName entre comillas simples:"'DetailName'='" cuando todo lo que debería ser es "DetailName='"

Como nota de seguridad, me gustaría señalar que la función mysql_escape_string() que está utilizando para forzar la entrada para que sea compatible con mysql es antiguo y está plagado de agujeros de seguridad. En su lugar, recomendaría usar la implementación mucho más segura:mysql_real_escape_string() . Los ejemplos de código a continuación hacen uso de la función más nueva y segura.

Sin embargo, aparte de esos problemas, recomendaría adoptar un enfoque ligeramente diferente que será más fácil de leer y mucho más fácil de administrar a largo plazo.

Para empezar, recomendaría usar el mismo nombre en todas las casillas de verificación y usar DetailName como valor en lugar de como clave:

<td>
    <input name="criteria[]" type="checkbox" id="Buffet" value="Buffet" />
    <strong><label for="Buffet">Buffet</label></strong>
</td>
<td>
    <input name="criteria[]" type="checkbox" id="Breakfast" value="Breakfast" />
    <strong><label for="Breakfast">Breakfast</label></strong>
</td>
<td>
    <input name="criteria[]" type="checkbox" id="BYOB" value="BYOB" />
    <strong><label for="BYOB">BYOB</label></strong>
</td>

Luego, usando los valores de sus entradas en lugar de las claves, ahora podemos generar nuestra cláusula. Muy eficientemente:

// Runs mysql_real_escape_string() on every value encountered.
$clean_criteria = array_map('mysql_real_escape_string', $_REQUEST['criteria']);
// Convert the array into a string.
$criteria = implode("','", $clean_criteria);

Finalmente, en su consulta, recomendaría usar IN operador en lugar del OR operador para eficiencia y legibilidad:

SELECT
    tblLocations.CityID, tblRestaurants.RestName, tblLocations.Street, tblLocations.Phone, tblLocations.Price, tblLocations.Rating, tblDetails.DetailName
FROM
    (
        tblRestaurants
    INNER JOIN
        tblLocations ON tblRestaurants.RestID = tblLocations.RestID
    )            
INNER JOIN
    (
        tblLocDet
    INNER JOIN
        tblDetails ON tblLocDet.DetailID = tblDetails.DetailID
    ) ON tblLocations.LocationID = tblLocDet.LocID
WHERE tblLocations.CityID='16' AND tblDetails.DetailName IN ($criteria)
ORDER BY tblRestaurants.RestName ASC

Aquí está todo el lado de PHP combinando las modificaciones que sugiero con su lógica:

<?php
require "congig.php";
if(!empty($_POST['criteria'])) { // empty() checks if the value is set before checking if it's empty.
    foreach($_POST['criteria'] as $key=>$value){ 
        // Runs mysql_real_escape_string() on every value encountered.
        $clean_criteria = array_map('mysql_real_escape_string', $_REQUEST['criteria']);
        // Convert the array into a string.
        $criteria = implode("','", $clean_criteria);
    }

    $rs = mysql_query("
        SELECT
            tblLocations.CityID, tblRestaurants.RestName, tblLocations.Street, tblLocations.Phone, tblLocations.Price, tblLocations.Rating, tblDetails.DetailName
        FROM
            (
                tblRestaurants
            INNER JOIN
                tblLocations ON tblRestaurants.RestID = tblLocations.RestID
            )            
        INNER JOIN
            (
                tblLocDet
            INNER JOIN
                tblDetails ON tblLocDet.DetailID = tblDetails.DetailID
            ) ON tblLocations.LocationID = tblLocDet.LocID
        WHERE tblLocations.CityID='16' AND tblDetails.DetailName IN ($criteria)
        ORDER BY tblRestaurants.RestName ASC
    ");
    if(!$rs) {
        echo "Cannot parse query";
    } else if(mysql_num_rows($rs) == 0) {
        echo "No records found";
    } else {
        echo "<table id=\"myTable\" table width=\"710\" class=\"beautifuldata\" align=\"Left\" cellspacing=\"0\">\n";
        echo "<thead>\n<tr>";
        echo "<th>PLACE</th>";
        echo "<th>ADDRESS</th>";
        echo "<th>PHONE</th>";
        echo "<th>PRICE</th>";
        echo "<th>RATING</th>";
        echo "</tr>\n</thead>\n";
        while($row = mysql_fetch_array($rs)) {
            echo"<tr>
            <td><strong><a href='$row[RestPage]'>$row[RestName]</a></strong></td>
            <td>$row[Address]</td>
            <td>$row[Phone]</td>
            <td>$row[Price]</td>
            <td>$row[Rating]</td>
            </tr>\n";
        }
        echo "</table><br />\n";
    }
}