Entrada de contraseña MySQL en script bash

Compruebe si la contraseña está en blanco o no, y si lo está, omita el modificador -p por completo.

read -p "Enter your MySQL username: " $sqluname
read -sp "Enter your MySQL password (ENTER for none): " $sqlpasswd
if [ -n "$sqlpasswd" ]; then
  /usr/bin/mysql -u $sqluname -p $sqlpasswd << eof
else
  /usr/bin/mysql -u $sqluname << eof
fi

Edición posterior para evitar un bloque if-then-else completo:

command="/usr/bin/mysql -u $sqluname"
[ -n "$sqlpasswd" ] && command="$command -p$sqlpasswd"
eval $command