¡OK! Así que parece que pude hacerlo funcionar.
Un poco más de investigación y encontré este sitio web:Ver el sitio web
Básicamente, me dijo qué ruta seguir para ejecutar mysqldump en el Dbs en mi servidor Wamp y todo salió como se esperaba.
Mi caso es bastante particular y quizás mucha gente no comparta esta necesidad, pero este es el resultado:
exec('C:\wamp\bin\mysql\mysql5.6.12\bin\mysqldump --user='.$_SESSION['user'].' --password='.$_SESSION['password'].' --host=localhost myDatabase > C:\Users\Xavier\Dropbox\db_backups\file.sql');
Por cierto, ¡muchas gracias a @MarcB y @mb14 por intentar ayudarme y publicar sus comentarios a continuación!
