¿Cómo migrar el directorio de datos MySQL en el contenedor docker?

Puede iniciar MySQL usando la imagen 5.5 y ejecutar mysqldump contra ella

docker run --rm --link mysqld mysql:5.5 \
       mysqldump -h mysqld --all-databases > /your/host/machine/

Y luego inicie un nuevo contenedor usando la imagen 5.6 e inicialícelo usando el volcado de SQL

docker run -v /data/your_dump.sql:/docker-entrypoint-initdb.d/dump.sql mysql:5.6