Creo que solo necesita agregar la contraseña en su archivo database.yml. Ese es un error que se muestra cuando el cliente que se conecta a mysql no especificó una contraseña, no es un problema de configuración con el servidor (aunque parece así con la redacción).
Si necesita configurar su contraseña en MySQL, lo hace con una opción de concesión:
GRANT ALL ON *.* TO 'railsuser'@'localhost' IDENTIFIED BY 'password';