Comparando un Nulo con otro valor en MySQL Trigger

MySql tiene un operador especial de verificación de igualdad de seguridad nula:

mysql> SELECT 1 <=> 1, NULL <=> NULL, 1 <=> NULL;
        -> 1, 1, 0
mysql> SELECT 1 = 1, NULL = NULL, 1 = NULL;
        -> 1, NULL, NULL

Puede usar este operador con el operador NOT:

mysql> SELECT NOT (1 <=> 1), NOT (NULL <=> NULL), NOT (1 <=> NULL);
        -> 0, 0, 1

Entonces, en tu caso debes escribir:

IF NOT (OLD.assignedto <=> NEW.assignedto)