Cómo agregar un cuadro de texto dinámico (fila) y guardarlo en la base de datos usando PHP

Debe usar solo el nombre del cuadro de texto que se agrega dinámicamente.

 $('form').submit(function() {
 var data=($(this).serialize());
 return false;
 });

Esta función obtiene el valor de todos los elementos y crea una cadena que se almacena en los datos, ahora los datos pasarán en la llamada ajax.

$('form').submit(function() {
 var data=($(this).serialize());
      $.ajax({
      type: "POST",
      url: "your_some.php",
      data: data,
      }).done(function( msg ) {
      alert( "Data Saved: " + msg );
     });
});